匹配滤波器设计仿真

一．匹配滤波器原理

在输入为确知加白噪声的情况下，所得输出信噪比最大的线性滤波器就是匹配滤波器，设一线性滤波器的输入信号为x(t)：

x(t)s(t)n(t) （1.1）

其中：s(t)为确知信号，n(t)为均值为零的平稳白噪声，其功率谱密度为

No/2。

设线性滤波器系统的冲击响应为h(t)，其频率响应为H()，其输出响应：

y(t)so(t)no(t) （1.2）

2 输入信号能量： E(s)s(t)dt （1.3）

 输入、输出信号频谱函数：

S()s(t)ejtdt

So()H()S()

1 so(t)2H()S()ejtd （1.4）

输出噪声的平均功率：

2E[no(t)]12Pno()d12H2()Pn()d （1.5）

2jto12 SNRo12H()S()e2d （1.6）

H()Pn()d() 利用Schwarz不等式得：

1 SNRo2S()2Pn()d （1.7）

上式取等号时，滤波器输出功率信噪比SNRo最大取等号条件：

S*()jt H() (1.8) ePn()o当滤波器输入功率谱密度是Pn()No/2的白噪声时，MF的系统函数为：

H()kS*()ejto,k2 (1.9) No k为常数1，S*()为输入函数频谱的复共轭，S*()S()，也是滤波器的传输函数H()。

SNRo2Es (1.10) NoEs为输入信号s(t)的能量，白噪声n(t)的功率谱为No/2

SNRo只输入信号s(t)的能量Es和白噪声功率谱密度有关。 白噪声条件下，匹配滤波器的脉冲响应：

h(t)ks*(tot) (1.11) 如果输入信号为实函数，则与s(t)匹配的匹配滤波器的脉冲响应为： h(t)ks(tot) (1.12) k为滤波器的相对放大量，一般k1。 匹配滤波器的输出信号：

so(t)so(t)*h(t)kR(tto) (1.13) 匹配滤波器的输出波形是输入信号的自相关函数的k倍，因此匹配滤波器可以看成是一个计算输入信号自相关函数的相关器，通常k=1。 二．线性调频信号（LFM）

脉冲压缩雷达能同时提高雷达的作用距离和距离分辨率。这种采用宽脉冲发射以提高发射的平均功率，保证足够大的作用距离；而接受时采用相应的脉冲压缩算法获得窄脉冲，以提高距离分辨率，较好的解决雷达作用距离与距离分辨率之间的矛盾。

脉冲压缩雷达最常见的调制信号是线性调频（Linear Frequency Modulation）信号,接收时采用匹配滤波器（Matched Filter）压缩脉冲。

LFM信号(也称Chirp 信号)的数学表达式为：

tj2(fctKt2)2s(t)rect()e (2.1)

Tt式中fc为载波频率，rect()为矩形信号，

Ttt11 （2.2） rect()TT0,elsewiseKB，是调频斜率，于是，信号的瞬时频率为fcKt(TtT)，如图1

22T

图1 典型的chirp信号（a）up-chirp(K>0)（b）down-chirp(K<0)

将2.1式中的up-chirp信号重写为：

 s(t)S(t)j2efc t （2.3）

式中，

2t(t)jKet （2.4） S(t)rec T是信号s(t)的复包络。由傅立叶变换性质，S(t)与s(t)具有相同的幅频特性，只是中心频率不同而以，因此，Matlab仿真时，只需考虑S(t)。通过MATLAB仿真可得到信号时域和频域波形如下图所示：

图2.LFM信号的时域波形和幅频特性

三．线性调频信号的匹配滤波器

信号s(t)的匹配滤波器的时域脉冲响应为：

s( t) （3.1） h(t)* 0tt0是使滤波器物理可实现所附加的时延。理论分析时，可令t0＝0，重写3.1式，

h(t)s*(t) （3.2）

将2.1式代入3.2式得:

tjK2te h(t)rec(t)Tj2cfte (3.3 )

图3.LFM信号的匹配滤波

如图3,s(t)经过系统h(t)得输出信号so(t)，

so(t)s(t)*h(t)当0tT时,

s(u)h(tu)duh(u)s(tu)du

uj2fcujK(tu)2tuj2fc(tu)jKu2erect()eerect()eduTTT2s0(t)tT2ejKt2ej2Ktudu ejKt2ej2KtuT2ej2fct (3.4)

j2KttT2sinK(Tt)tj2fcteKt当Tt0时,

tT2s0(t)T2ejKtej2Ktuduej2KtutT2j2fcte (3.5) Tj2Kt22 ejKt2sinK(Tt)tj2fcteKt合并3.4和3.5两式：

tsinKT(1T s0(t)TKTtt)tftcrec(t)j2e （3.6） 2T3.6式即为LFM脉冲信号经匹配滤波器得输出,它是一固定载频fc的信号。当

tT时，包络近似为辛克（sinc）函数。 S0(t)TSa(KTtrect)tt（3.7） ()TSaBt(rect)( )

2T2T

图4.匹配滤波的输出信号

如图4，当Bt时，t11为其第一零点坐标；当Bt时，t，B22B112 (3.8) 2BBT习惯上，将此时的脉冲宽度定义为压缩脉冲宽度。 LFM信号的压缩前脉冲宽度T和压缩后的脉冲宽度之比通常称为压缩比D， D （3.9） TB3.9式表明，压缩比也就是LFM信号的时宽频宽积。

由（2.1）,（3.3）,（3.6）式，s(t),h(t),so(t)均为复信号形式，Matab仿真时，只需考虑它们的复包络S(t),H(t),So(t)即可。经MATLAB仿真得线性调频信号经过匹配滤波器的波形信号如图5所示：

图5.Chirp信号的匹配滤波

图5中，时间轴进行了归一化，（t/(1/B)tB）。图中反映出理论与仿真结果吻合良好。第一零点出现在1（即的脉冲宽度近似为

1）处，此时相对幅度-13.4dB。压缩后B11（），此时相对幅度-4dB,这理论分析（图3.2）一致。

2BB如果输入脉冲幅度为1，且匹配滤波器在通带内传输系数为1，则输出脉冲幅度为kT2TBD，即输出脉冲峰值功率Po比输入脉冲峰值功率P增大了D倍。

四．雷达系统对线性调频信号的检测

在实际实际雷达系统中，LFM脉冲的处理过程如图6。

图6 LFM信号的接收处理过程

雷达回波信号sr(t)经过正交解调后，得到基带信号，再经过匹配滤波脉冲压缩后就可以作出判决。正交解调原理如图7，雷达回波信号经正交解调后得两路相互正交的信号I(t)和Q(t)。一种数字方法处理的的匹配滤波原理如图8。

图7 正交解调原理

图8 一种脉冲压缩雷达的数字处理方式

以下各图为经过脉冲压缩输出的已加噪声的线性调频信号（模拟雷达回波信号）的matlab仿真结果：波形参数脉冲宽度T=10s，载频频率fc=10khz，脉冲宽度B=30Mhz

图9.SNR=30的脉冲压缩输入输出波形

图10 SNR=20的脉冲压缩输入输出波形

图11 SNR=0的脉冲压缩输入输出波形

图12 SNR=-10的脉冲压缩输入输出波形

图13. SNR=-20的脉冲压缩输入输出波形

图14. SNR=-30的脉冲压缩输入输出波形

S(t)信号中白噪声n为：

nsqrt(0.5*SNR)*(randn(1,length(St))j*randn(1,length(St)))、

仿真表明，线性调频信号经匹配滤波器后脉冲宽度被大大压缩，信噪比得到了显著提高，但是雷达目标回波信号信号的匹配滤波仿真结果图9-14可以看出当信噪比小于零时随着信噪比的不断减小，所噪声对线性调频信号的干扰愈来愈明显，当信噪比达到-30dB时已经有部分回波信号被淹没了，也就是说当信噪比更小时即使是经过脉冲压缩，噪声仍能淹没有用信号。 五．程序附录

1.线性频率调制信号（LFM）仿真：

%%demo of chirp signal

T=10e-6; %pulse duration10us

B=30e6; %chirp frequency modulation bandwidth 30MHz K=B/T; %chirp slope

Fs=2*B;Ts=1/Fs; %sampling frequency and sample spacing N=T/Ts;

t=linspace(-T/2,T/2,N);

St=exp(1i*pi*K*t.^2); %generate chirp signal subplot(211)

plot(t*1e6,real(St)); xlabel('Time in u sec');

title('Real part of chirp signal'); grid on;axis tight; subplot(212)

freq=linspace(-Fs/2,Fs/2,N);

plot(freq*1e-6,fftshift(abs(fft(St)))); xlabel('Frequency in MHz');

title('Magnitude spectrum of chirp signal'); grid on;axis tight;

2 LFM信号的匹配滤波仿真

%%demo of chirp signal after matched filter

T=10e-6; %pulse duration10us

B=30e6; %chirp frequency modulation bandwidth 30MHz K=B/T; %chirp slope

Fs=10*B;Ts=1/Fs; %sampling frequency and sample spacing N=T/Ts;

t=linspace(-T/2,T/2,N);

St=exp(j*pi*K*t.^2); %chirp signal Ht=exp(-j*pi*K*t.^2); %matched filter

Sot=conv(St,Ht); %chirp signal after matched filter subplot(211) L=2*N-1;

t1=linspace(-T,T,L);

Z=abs(Sot);Z=Z/max(Z); %normalize Z=20*log10(Z+1e-6);

Z1=abs(sinc(B.*t1)); %sinc function Z1=20*log10(Z1+1e-6);

t1=t1*B; plot(t1,Z,t1,Z1,'r.');

axis([-15,15,-50,inf]);grid on; legend('emulational','sinc'); xlabel('Time in sec \imes\\itB'); ylabel('Amplitude,dB');

title('Chirp signal after matched filter');

subplot(212) %zoom N0=3*Fs/B;

t2=-N0*Ts:Ts:N0*Ts; t2=B*t2;

plot(t2,Z(N-N0:N+N0),t2,Z1(N-N0:N+N0),'r.'); axis([-inf,inf,-50,inf]);grid on;

set(gca,'Ytick',[-13.4,-4,0],'Xtick',[-3,-2,-1,-0.5,0,0.5,1,2,3]); xlabel('Time in sec \imes\\itB'); ylabel('Amplitude,dB');

title('Chirp signal after matched filter (Zoom)');

3．LFM信号的雷达监测仿真

% input('\\nPulse radar compression processing: \\n '); clear; close all;

T=10e-6; B=30e6;

Rmin=8500;Rmax=11500; R=[9000,10000,10200];

RCS=[1 1 1 ];

C=3e8; K=B/T; Rwid=Rmax-Rmin; Twid=2*Rwid/C; Fs=5*B;Ts=1/Fs;

Nwid=ceil(Twid/Ts);

t=linspace(2*Rmin/C,2*Rmax/C,Nwid); M=length(R); td=ones(M,1)*t-2*R'/C*ones(1,Nwid); SNR=[1,0.1,0.01,0.001,10,100,1000]; for i=1:1:7

Srt1=RCS*(exp(1i*pi*K*td.^2).*(abs(td)%Digtal processing of pulse compression radar using FFT and IFFT Nchirp=ceil(T/Ts);

Nfft=2^nextpow2(Nwid+Nwid-1); Srw=fft(Srt,Nfft); Srw1=fft(Srt1,Nfft);

t0=linspace(-T/2,T/2,Nchirp);

St=exp(1i*pi*K*t0.^2); Sw=fft(St,Nfft); Sot=fftshift(ifft(Srw.*conj(Sw))); Sot1=fftshift(ifft(Srw1.*conj(Sw))); N0=Nfft/2-Nchirp/2;

Z=abs(Sot(N0:N0+Nwid-1)); figure

subplot(211)

plot(t*1e6,real(Srt)); axis tight;

xlabel('us');ylabel('幅度')

title(['加噪线性调频信号压缩前,SNR =',num2str(-1*10*log10(SNR(i)))]); subplot(212) plot(t*C/2,Z)

xlabel('Range in meters');ylabel('幅度')

title(['加噪线性调频信号压缩后,SNR =',num2str(-1*10*log10(SNR(i)))]); end