鲁棒控制发展概述
摘 要：本文首先介绍了鲁棒控制理论的发展过程；接下来主要介绍了研究鲁棒多变量控制过程中两种常用的分析方法：方法以及分析方法；最后给出了鲁棒控制理论的应用及其控制方法的特点，并指出了目前鲁棒控制尚未解决的问题以及研究的热点问题。
关键词：鲁棒控制；鲁棒多变量控制；鲁棒控制；分析方法 1. 引言
传统控制器都是基于系统的数学模型建立的，因此控制系统的性能好坏很大程度上取决于模型的精确性，这正是传统控制的本质。现代控制理论可以解决多输入、多输出（MIMO）控制系统的分析和控制设计问题，但其分析与综合方法也都是在取得控制对象数学模型的基础上进行的，而数学模型的精确程度对控制系统性能的影响很大，往往由于某种原因，对象参数发生变化而使数学模型不能准确地反映对象特性，从而无法达到期望的控制指标。为解决这个问题，控制系统的鲁棒性研究成为现代控制理论研究中一个非常活跃的领域。简单地说，鲁棒控制就是对于给定的存在不确定性的系统，分析和设计能保持系统正常工作的控制器。鲁棒镇定保证了不确定性系统的稳定性，而鲁棒性能设计能够进一步保证系统在某种指标下的性能。根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。以闭环系统的鲁棒性作为设计目标得到的固定控制器称为鲁棒控制器。鲁棒控制自其产生便得到了广泛的关注并得到了蓬勃发展。其实人们在系统设计时，常常会自觉不自觉地考虑到鲁棒性的问题。当前这一理论的研究热点是非线性系统的控制问题。另外还有一些关于鲁棒控制的理论，如结构奇异值理论和区间理论等。
最早给出鲁棒控制问题的解的是Black在1927年给出的关于真空开关放大器的设计，他首次提出采用反馈设计和回路高增益的方法来处理振控管特信各大范围波动。之后，
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Nyquist频域稳定性准则和Black回路高增益概念共同构成了Bode的经典之著[1]中关于鲁棒控制设计的基础。20世纪60年代之前这段时间可称为经典灵敏度设计时期。此间问题多集中于SISO系统，根据稳定性、灵敏度的降低和噪声等性能准则来进行回路设计。
20世纪六七十年代中鲁棒控制只是将SISO系统的灵敏度分析结果向MIMO进行了初步的推广[2]，灵敏度设计问题包括跟踪灵敏度、 性能灵敏度和特征值 /特征向量灵敏度等的设计。
20世纪80年代，鲁棒设计进入了新的发展时期，此间研究的目的是寻求适应大范围不确定性分析的理论和方法。
2 鲁棒控制理论
方法在工程中应用最多，它以输出灵敏度函数的
范数作为性能指标，旨在可能发
生“最坏扰动”的情况下，使系统的误差在无穷范数意义下达到极小，从而将干扰问题转化为求解使闭环系统稳定并使相应的
范数指标极小化的输出反馈控制问题。
鲁棒控制理论是在空间(即Hardy 空间)通过某些性能指标的无穷范数优化而获
空间是在开右半平面解析且有界的矩阵函数
得具有鲁棒性能的控制器的一种控制理论。空间，其范数定义为：
（1）
即矩阵函数在开右半平面的最大奇异值的上界。范数的物理意义是指系统获得
的最大能量增益[3]。
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鲁棒控制理论的实质是为MIMO（多输入多输出）且具有模型摄动和不确定性的系
统提供了一种频域的鲁棒控制器设计方法。
鲁棒控制理论很好地解决了常规频域理论不
适合的MIMO系统设计及LQG（线性二次高斯）理论不适合的模型摄动情况两个难题，其计算的复杂性随着计算机技术的发展及标准软件开发工具箱的出现而得到克服，近年来已成为控制理论的一个热点研究领域，并取得了大量实际的应用成果。
2.1 鲁棒控制理论的发展过程
鲁棒控制理论的发展过程分为两个阶段，分别以加拿大学者Zames[4]和美
鲁棒控制理
控制界将
国学者Doyle 等人[5]发表的两篇著名论文为标志。称前一阶段的理论为经典论，称后一阶段的理论为状态空间
鲁棒控制理论。
Zames发表的论文标志着鲁棒控制理论的起步。针对LQR设计中将不确定性干扰
表示成白噪声模型的局限性，Zames考虑了干扰信号属于某一能量有限的已知信号集的情况下，能使系统内稳定及系统对扰动输出达到最小的控制器设计。他找到了鲁棒控制与最优控制的一个契合点，是在理论内部超越了LQR理论的尝试。
这一阶段的主要特征是采用纯频域方法，以法是把
空间、范数等概念为基础，研究的方
标准型转化为模型匹配问题，然后将模型匹配问题转化为广义距离问题。主要工
具是所有稳定化控制器的 Youla-Jabr-Kucera参数化，传递函数的内外分解，
Nevanlina-Pic差值理论，Nehari的距离定理等。这种频率域/算子理论的处理方法目前仍然是很活跃的研究领域。
在第二个阶段，设计转向状态空间分析方法，进一步简化了求解过程。Doyle等人
标准控制问题有解的充
控制器，
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发表的论文[5] 不仅针对状态反馈，而且对输出反馈的情形给出了
要条件以及次优控制器的参数形式，并证明了可以通过解两个Riccati方程得到
且其阶数与被控对象的阶数相等，从而推导出控制问题在概念上和算法上都被大大的简化。
控制理论标准问题的一个相当清晰的解。
此阶段的主要特征是状态空间方法的采用，它采用Lyapunov稳定理论、能控能观等概念为基础，以状态空间实现为工具，不仅得到了所有
次优解的表达式而且所得控制器
的阶数不超过广义对象的阶数。因而，既具有理论意义又有实际的应用价值。
2.2 鲁棒控制理论研究
控制研究。
（1）线性
从耗散性能理论和微分对策理论出发，利用增益分析，非线性控制问题可解决的
充分条件被转化一组Hamilton-Jacobi等式或不等式的可解性问题，并可通过求解来获得鲁棒控制器的形式[6-8]。
Takagi Sugeno 提出了著名的T-S模糊系统模型，为非线性控制系统提供了新的思路。吴忠强等人利用T-S模糊动态模型描述非线性系统，首先将全局模糊系统表示成不确定系统形式，采用
控制策略，设计出使全局模糊系统渐进稳定的控制器。然后采用并行
控制器。将模糊控制与现代鲁棒控制相
分配补偿法，设计出使模糊系统全局渐进稳定的
结合解决非线性问题，避免了偏微分方程的求解和一些假设条件。
（2）时滞系统的控制。
时滞现象普遍存在于实际的控制问题中。时滞往往使系统的性能变差甚至是造成系统不稳定的主要原因之一， 一些学者将具有不确定性的时滞系统的
控制理论应用到时滞系统的研究中[9-10]，并且针对
鲁棒控制问题也有研究报道。在这些研究的系统中，最常见
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的控制方法是利用系统的状态构成线性无记忆反馈。
（3）区间系统的研究。
区间系统是含有参数不确定性的系统中最难研究的一种，这是因为对于一个n阶区间系统，在状态矩阵中就有n2个不确定参数。尽管如此，近年来关于区间系统的研究还是取得了许多成果。文献[11]先将区间系统转化为一类范数有界的结构不确定性系统。在此基础上，给出一系列定常区间系统鲁棒稳定性的判据，并利用棒稳定和干扰抑制问题。
控制理论来研究区间系统的鲁
2.3 控制理论的应用
鲁棒控制理论作为近年来发展比较迅速的一种新型控制理论，在理论和算法的实现
上已基本成熟。现在正处于成熟及应用阶段，在这一阶段发展了一种利用回路成形方法设计控制器的分析方法，它是通过选择权函数来改善开环奇异值的频率特性，以实现系统的闭环性能，并在鲁棒性能指标和鲁棒稳定性之间进行折衷。McFarlane[12]等人给出了设计步骤。在国内许多学者在
鲁棒控制理论研究方面取得了不少成果，具有一定的理论和实
控制器用于泵控马达伺服系统，
设计问题，得到具有很
控
际应用价值的论文在国内重要学术刊物上发表。例如将把经内环整定后的伺服电机扩展为增光对象强鲁棒性的速度控制器；将
，对其求解标准
控制器用于船舶自动舵控制，并取得了满意的结果；应用
制研究了具有冲击影响的宏观经济系统控制问题，并应用实例给出了一个和公众预期宏观经济
控制的状态反馈解。控制指标在时域的本质是“最大最小”问题，其系
统意义是选择控制策略使观测输出最大扰动最小。相应于证券组合投资问题，使收益最大风险最小。运用
对证券投资中的不确定性和风险问题的连续时间系统进行了研究；离散
控制策略，为证券组合投资的分析和实际应
时间系统状态空间模型的提出，推导了奇异用提供了新的理论方法。
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3．鲁棒控制理论中的分析方法
对于存在各类结构化不确定性的系统，用结构奇异值方法进行受控系统稳定性和性能分析的过程叫做分析。而设计控制器的过程（即求一稳定控制器，使闭环系统在原有结构化不确定性的情况下也能保持稳定性和其他性能）称为综合。理论的关键思想是：通过输入、输出、传递函数、参数变化、摄动等所有线性关联重构，以隔离所有摄动得到块对角有界摄动问题。的频率响应图的峰值确定了系统鲁棒稳定所能承受的摄动的大小。与对象条件数的平方根成正比，所以不良条件数对象是难以控制的。
3.1 理论的形成过程
对理论的发展产生重要影响的是20世纪70年代末鲁棒多变量控制系统的研究
[13-15]，它们对稳定性分析的早期工作，特别是小增益理论和圆盘理论产生了不可估量的影
响。这些理论给出了反馈中非线性环节稳定性的充要条件。20世纪80年代初，Doly和Stein以奇异值为鲁棒性度量工具推广了多变量系统的Bode幅值设计方法，他们指出影响系统鲁棒性的是系统回差矩阵或逆回差矩阵的奇异值。然而在越来越多的实践中表明，基于奇异值的方法来处理非结构化不确定性的假设太粗略，对鲁棒性能的问题不能得到充分解决；对于结构化的对象扰动，基于奇异值的稳定性和品质测度通常是很保守的。在1982年IEE Proceeding出版的关于灵敏度和鲁棒性的专辑中，Doly引进了结构奇异值的概念来减少这种方法的保守性，逐渐形成了理论。
3.2 鲁棒控制理论的研究
（1）确定性参数的性质。
由于实参数理论会产生数据的不连续性问题，增加了计算的复杂性，并为用实参数作为鲁棒测量手段的实用方法造成了障碍。Packard和Pandey指出，如果在较为缓和的假
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设下混合理论问题，能够使工程问题的实现和解决得到保证。Rohn和Poljak的研究结果证明了在纯实数或复数的情况下一味追求计算的精确方法是毫无疑义的。Young也指出只有将所有技术智能的结合在一起，才能得到实际有效的算法。
（2）算法方面。
由于综合用到一种更程式化的方法，而不是经典控制中的trial-and-error方法，所以它对性能最大化和不确定性之间的折中可以起到调节作用。与
优化相比，没有解析
解，只有通过数字算法(D-K迭代)来实现。尽管在理论上还未证明其收敛性，但在工程应用上已得到很好的效果。考虑到D-K迭代法不能保证收敛到全局最小，于是一种改进的-K迭代法被提出来。类似D-K法，它仍然不能完全保证收敛到全局最小，但如果-K迭代没有给出最小值，它还可以通过用D矩阵尺度化M得到较好的结果。
（3）上下界的确定。
Fan(1991年)给出复数上界实际是最小化一个Hermitian矩阵的特征值问题。Young和Doly(1990年)认为混合理论问题可看作是特征值的最大化问题，可以通过一个能量算法解决[16]。
3.3 理论在实际中的应用
Dale F.nns用结构奇异值的方法得到了火箭上升穿越大气层时能够保持其稳定的控制规律。有俯仰角速度螺旋感知飞行器内不稳定的俯仰运动，运用这种规律通过调节推力作用，使飞行器稳定的飞行。M.steinbush分析了当系统同时存在复数和实数不确定性时不确定性的建模和计算稳定边界的鲁棒性问题，并将此运用到电机定位装置上。Eicher Low等结合综合方法和特征结构配置方法，分析了直升机飞行控制系统中的鲁棒性问题。
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4. 鲁棒控制中尚待解决的问题及研究的热点问题
（1）目前提出一些鲁棒控制方法，包括一些自适控制方法等都不可避免地要依赖于对系统数学模型的确数学分析，所以对线性系统取得的成果较多，而对时变非线性系统则成果不多，因为后者很难精确地用数学模型进行描述。而鲁棒控制设计又离不开以一定精度的数学模型为依据，这就产生了矛盾，这个矛盾若没有好的方法加以克服，具有强鲁棒性的控制方法将难以得到。这点对时变非线性系统尤其突出。在这方面需要在概念上和方法上有所创新。
（2）鲁棒控制理论的标准问题无论在理论上还是在算法实现上都已基本成熟，其难点在于指标的设定和权函数的选取。不同对象、不同设计指标需要不同的权函数，但相互间并没有特定的规律可循，更多的是依赖于设计者的经验。故基于经验的提取变成专家系统的规则，进而形成工程上可用的确定加权函数的软件包或专家系统软件，将是研究的一个方向。
（3）对于分析方法，算法的完善及坏条件数系统的分析方法都
是尚需研究的问题。对于MIMO系统，目前的分析方法还只适用于各通道模型结构摄动形式统一的情况，这与实际工程情况严重不符。故各通道采用不同的模型结构摄动形式的分析方法，也是需要研究的问题。
（4）目前，鲁棒控制已形成了一个方法多样、成果丰硕、内容广泛的格局，许多成果已在实际中得到了广泛的应用。然而对于非线性系统由于问题本身的复杂性，其研究还只能算是起步的，大量问题还有待进一步探讨。充分利用各种方法的特点，有机的结合其中几种方法较之用某一方法孤立的进行研究要有效的多，几种方法结合会为非线性鲁棒控制的研究开辟新的方向。
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（5）近年来发现，许多鲁棒控制问题均与线性不等式(LMI)密切相关，因此可将系统的鲁棒控制问题转化为LMI来求解。因此基于LMI的凸优化方法成为当今研究的热点之一，且将来在这方面的研究成果会越来越多。
5 结束语
鲁棒控制是目前现代控制理论中重要的发展方向和前沿课题。目前，线性系统的鲁棒控制方法正在向非线性系统扩展。另外，一些智能控制的方法也被引入到鲁棒控制系统中，用于鲁棒控制方法的实现，从而使控制系统设计趋于完善，符合实际需要。
鲁棒控制理论不仅仅被广泛应用在工业控制中，同时它也被广泛运用在经济控制、社会管理等很多领域。随着人们对于控制效果要求的不断提高，系统的鲁棒性会越来越多地被人们所重视，从而使这一理论得到更快的发展。
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