地大高数补考

《高等数学一》模拟题（开卷）（补）

一． 填空题

sin2x 2 ，

x0x22x2．lim(1) e ，

xxf(x02x)f(x0) 2 ， 3．已知f'(x0)1, 则limx0x1(,)x144．函数F(x)2 ， dt的单调减区间为 0t1．lim5．微分方程 yy0的通解是 yC1cosxC2sinx ，

6．

11或x2x 2x2 ，

1xex ， 7．d(2xex) 2ln28．

11x2dx arctaxnC 。

二．单项选择题 1．设f(x)。 x1, 0x4, 则f(x2)的定义域是（ B ）

A．[ 0 , 4 ] B．[ -2 , 2 ] C．[ 0 , 2 ] D．[ 1 , 3 ]

x2a,x02．设fx在x0上连续，则a的值为（ D ）。

1cosx,x0A．-1 B．0 C．1 D．2 3．对于函数fxx，下面叙述正确的是（ B ）。

A．函数连续且一阶导数也连续 B．函数连续但一阶导数不连续 C．函数不连续但一阶导数连续 D．函数不连续且一阶导数也不连续 4．设F(x)是fx的一个原函数，则有下面成立的是（ C ）。 A．C．

f(x)dxF(x)

B．F(x)dxf(x)

D．F(x)dxf(x)C

f(x)dxF(x)C

325．微分方程(y)3xy4sinx的 阶 数 为（ B ）。

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A．0 B．1 C．2 D．3 6．函数f(x)ln(x1)2xarcsinx的定义域是（ A ）。

A （-1 , 1 ] B [ -1 , 1 ] C （-1 , 2 ] D [-1 , 2 ] 7．当x0时，f(x)tanxsinx是x的（ D ）。

A．低阶无穷小 B．等阶无穷小 C．同阶但不等阶无穷小 D．高阶无穷小 8．函数fxlnx在x0点（ D ）。

A．连续且可导 B．连续但不可导 C．不连续但可导 D．不连续且不可导 9．设F(x)是fx的一个原函数，则有下面成立的是（ C ）。

bddf(x)dxA．f(x)dx B．

dxaf(x)dxf(x)c

xxdf(x)dxC．df(x)dxf(x)dx D．f(x)c dxaa10．下列那一项不是常微分方程（ A ）。

A．3y22xy0 B．(x2y2)dx(x2y2)dy0 C．y3y0 D．y3xsiny

三．计算题

1．limx(x1x)

x2 解： limx(x1x)=limxxx2x1x2x1x222=limxx1x2x =limx11= 21121xdy dx2．设yxarcsinxlntanx，求

解：

dy=xarcsinxlntanx dx=xarcsinxxarcsinx=arcsinxxdlntanxdtanx

dtanxdx11x21sec2x tanx第2页（共5页）

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=arcsinxx1x2secxcscx

3．

2x1x25x6dx

2x153解：2， 所以

x5x6x3x2

2x11135dx5dx3dx ==dxx25x6x3x2x3x2 =5ln|x3|3ln|x2|C

4．

e01xdx

时t1，故 解： 令xt，那么xt2， dx2tdt， 且x0时t0，x1e01xdx=e2tdt=2te01tt1etdt2= 2(eet00110)=2

5．limcotxx011

sinxxcosxxsinxxsinx11=limcosxlim =lim3x0sinxx0x0xsinxxsinxx 解： limcotxx0=limsinx11cosxlim== x06xx063x21x3dy6．设yln，求

dx1x2 解：

dy=ln1x3ln1x2=ln(1x3)ln(1x2)

dxdln(1x3)d(1x3)dln(1x2)d(1x2)= 32d(1x)dxd(1x)dx3x22x. =321x1x7．

1xarctanx1x2dx

1xarctanx1xarctanxdxdxdxdx 解：=22221x1x1x1x1d(1x2)arctanxd(arctanx) =arctanx221x第3页（共5页）

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=arctanx8．求微分方程

11ln(1x2)(arctanx)2C 22dyey(xx3)的通解。 dx解：这是变量分离方程，变量分离eydy(xx3)dx，

y两边积分，有eydy(xx3)dxc，即e1214xxc为原方程的通解。 24

四．应用题

1．已知曲线yy(x)满足方程xyexey0，试求曲线在点(0，0)处的切线方程。 解：在方程两边关于x求导， 有

yxyexeyy0

exy所以yy ， 曲线在(0，0)处的切线的斜率k切y(0,0)1，故

ex切线方程为yx。

2．计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积。

解：抛物线与直线相交于点(2,-2,), (8,4), 如图所示。选取y为积分变量， 那么

111Ay4y2dyy24yy318。

22622443．已知曲线yy(x)满足方程sinyxey0，试求曲线在点(0，0)处的切线方程。 解：在方程两边关于x求导， 有

cosyyeyxeyy0

ey所以y ， 曲线在(0，0)处的切线的斜率k切y(0,0)1，故 ycosyxe切线方程为yx。

4．计算抛物线yx与yx所围成的图形的面积。

解：两抛物线与直线相交于点(0,0,), (1,1)。选取x为积分变量， 那么

222s(xx)dx =x2031231011=。 x31033

五． 证明题

1x) 1．当x0时，xln(第4页（共5页）

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解：解法一：利用中值定理。考虑函数f(u)ln(1u)，显然函数在[0,x]上满足拉格朗日中值定理，所以存在(0,x)， 使得

f(x)f(0)f'()(x0)

即ln(1x)11x，因为1， 所以当x0时，xln(1x)成立。 11 解法二：利用函数的单调性。 考虑函数f(x)xln(1x)， 那么 f(x)1 当x0时f(x)11 1x1>0，所以f(x)xln(1x)单调递增。从而 1xf(x)xln(1x)f(0)0。命题得证。

2. 当x0时，ex1x.

解：解法一：利用中值定理。考虑函数f(u)eu，显然函数在[0,x]上满足拉格朗日中值定理，所以存在(0,x)， 使得

f(x)f(0)f'()(x0)

x0x 即eeex，因为e1， 所以当x0时，e1x成立。

解法二：利用函数的单调性。 考虑函数f(x)exx， 那么 f(x)ex1

当x0时f(x)ex1>0，所以f(x)exx单调递增。从而

f(x)exxf(0)1。命题得证。

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