岩体力学计算题

岩体力学计算题(总23页)

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计算题

四、岩石的强度特征

(1) 在劈裂法测定岩石单轴抗拉强度的试验中，采用的立方体岩石试件的边长为5cm，一组平行试验得到的破坏荷载分别为、、，试求其抗拉强度。

解：由公式σt=2Pt/πa2=2×Pt×103/×52×10-4=(MPa)

σt1=×= σt2=×= σt3=×=

则所求抗拉强度：σt==++/3=。

(2) 在野外用点荷载测定岩石抗拉强度，得到一组数据如下： D(cm) Pt(kN) 试计算其抗拉强度。(K= 解：因为K=，Pt 、D为上表数据，由公式σt=KIs=KPt/D2代入上述数据依次得：

σt=、、、、、、、。

求平均值有σt=。

(3) 试导出倾斜板法抗剪强度试验的计算公式。 解：

PfσФτФστα

如上图所示：根据平衡条件有： Σx=0

τ-P sinα/A-P f cosα/A=0 τ=P (sinα- f cosα)/A

Σy=0

σ-P cosα-P f sinα=0 σ=P (cosα+ f sinα)

式中：P为压力机的总垂直力。

σ为作用在试件剪切面上的法向总压力。

τ为作用在试件剪切面上的切向总剪力。

f为压力机整板下面的滚珠的磨擦系数。

2

α为剪切面与水平面所成的角度。 则倾斜板法抗剪强度试验的计算公式为:

σ=P(cosα+ f sinα)/A τ=P(sinα- f cosα)/A

(4) 倾斜板法抗剪强度试验中，已知倾斜板的倾角α分别为30º、40º、50º、和60º，如果试样边长为5cm,据经验估计岩石的力学参数c=15kPa，φ=31º，试估计各级破坏荷载值。(f=

解：已知α分别为30º、40º、50º、和60º，c=15kPa，φ=31º，f=，

τ=σ tgφ+c

σ=P(cosα+ f sinα)/A τ=P( sinα- f cosα)/A

P( sinα- f cosα)/A= P(cosα+ f sinα) tgφ/A+c ( sinα- f cosα)= (cosα+ f sinα) tgφ+cA/P P=cA/[( sinα- f cosα)- (cosα+ f sinα) tgφ]

由上式，代入上述数据，计算得：

P30=15(kN/mm2)×25×102(mm2)/[( sin30 - ×cos30) - (cos30 + ×sin30) tg31]

α 30 40 50 60

sinα

cosα

( sinα- f cosα) (cosα+ f sinα)

(cosα+ f sinα)

tgφ

P

(5) 试按威克尔(Wuerker)假定，分别导出σt、σc、c、φ的相互关系。 解：如图： τDCcBArt1roo2由上述ΔAO1B≌ΔAOC得： r1AB cAO1r1又 AB=ctgΦ×r1, AO1=cscΦ×r1 , r1=σt/2 (2) 3

Фσ1o2σcσ (1) 把(2)代入(1)式化简得：t2cΔAO2D≌ΔAOC得：

r2AO1r1r2 cccsccos (3)

1sin∵ r1=σt/2 r2=σc/2

σc(cscφ-1)= σt(cscφ+1) (4)

把(4)代入(3)得：

1cscr2r1cscr1r2

c2ccos (5)

1sin由（3），（5）

cos2cos22ct4c4c4c2 2(1sin)(1sin)1sin2c1ct 2 (6)

由（3）,（5）

2ccosφ=σt(1+sinφ) , 2ccosφ=σc (1-sinφ), 相等有 sinφ=(σc-σt)/ (σc+σt) (7)

由(5)+(3)

cosφ=4c/(σc+σt) (8)

由（6），（7），（8）

tan(t)sin (9) ccos2ct2ct(ct)(ct)(ct)(6) 在岩石常规三轴试验中，已知侧压力σ3分别为、、和0MPa时，对应的破坏轴向压力分别是、329MPa、和161MPa，近似取包络线为直线，求岩石的c、φ值。.

1．图解法

τ18151296co609121518212427σ由上图可知，该岩石的c、φ值分别为：28MPa、52°。 2．计算法 由M-C准则

4

sin变形

13

132cctg2ccos1(1sin)3(1sin) （1）

考虑Coulomb曲线为直线，则强度线应与Mohr圆中的任意两圆均相切，此时的c、φ值相等，则任一圆都满足（1）式。设任意两圆中的应力分别为

112，由（1）式得 1,3和12,31121(1sin)3(1sin)12(1sin)3(1sin)

整理得

112(112)(33)sin112(112)(33)c1(1sin)3(1sin)

2cos将已知数据代入计算结果如下：

σ1 Σ3 φ c 329 161 0

计算结果分析，第一组数据与第三组数据计算结果明显低于第一组与第二组数据和第二组与第三组数据的计算结果，考虑包络线为外包，故剔除第一组数据与第三组数据计算结果，取平均后得：φ=°，c=。

(7) 某岩石的单轴抗压强度为，φ=°，如果在侧压力σ3=下作三轴试验，请估计破坏时的轴向荷载是多少

解：已知如图所示：

τDFc35.2Br1r2Ao40.8C1.5Eσσ

ΔAOC≌ΔABC得：即：

r1AC cAFr1cctanr1 cccsc5

因为：r1= MPa，φ=°， 所以求得：c= MPa

所以：AO=c ctanφ= MPa ΔABC≌ΔADE得：

r1ACcctanr1 r2AEAO3r2解得：r2= MPa 所以σ1=+2×= MPa

(8) 在威克尔(Wuerker)假定条件下，岩石抗压强度是它的抗拉强度的多少倍 解：由上述题(5)知：

cos2cc1sin1sint2ccos1sin1sin故

φ

25 30 35 40 45 50 55 60

(1+sinφ)

(1-sinφ)

σc/σt

3

根据此式点绘的图如下：

150100500020406080100

五、岩石的变形特征

(1) 试导出体积应变计算式：εv=εa-2εc

解：如上图所示得：

V = πc2a/4

6

V ´ =π(c+Δc)2(a+Δa)/4

V'V(cc)2(aa)/4c2a/4vVc2a/4ac22accac2ac22accac2c2a c2a2accac2c2a其中略去了Δc、Δa的高次项，整理得：

va2ca2c ac(2) 岩石变形实验数据如下，a. 作应力应变曲线(εa、εc、εv)。b. 求初始模

量、切线模量、50%σc的割线模量和泊松比。

σ(MPa) 16 30 47 62 77 92 154 1 εa(×10-6) 188 375 550 740 930 1412 1913 破坏 εc(×10-6) 63 100 175 240 300 350 550 破坏 解：由公式：εv=εa-2 εc

得：εv=250、175、200、260、330、712、713 则初始模量：Ei=σi/εi=16/188=

切线模量： Et=(σ2-σ1)/(ε2-ε1) =(77-62)/(930-740) = 割线模量： Es=σ50/ε50=77/930= 泊松比：μ=εc /εa= =

六、岩石的强度理论

(1) 导出莫尔–库伦强度准则。 解：如图：

由图中几何关系，在ΔABO1中，B是直角，A

7

ODc,OAcctg,O1BO1AOAOO1cctgOBsin1O1A132,OO1132,13221sin2ccos或：131sin1sin133132cctgcctg1213

(3) 对岩石试样作卸载试验，已知C=12kPa，φ=36º，σy=100MPa，当

σ1=200MPa时，按莫尔–库论判据，卸载达到破坏的最大围压σ3是多少如果按米色士判据又是多少

解：由上题Mohr判据

11sin2ccos31sin1sin

1sin2ccos1sin3620.012cos36得：3120051.87MPa1sin1sin1sin361sin36(12)2(23)2(31)22y2等围压时，23，上式变为：按米色士判据：

13y31y200100100MPa

(4) 岩体内存在不同方向裂纹，已知σt=–8MPa，

a. 当σ1=42MPa，σ3=–6MPa时，按格里菲斯准则是否破坏，沿哪个方向破坏

b. 当σ1=20MPa，σ3=–8MPa时，是否破坏，沿哪个方向破坏

(13)28t 解：a.由于σ1+3σ3=42+3×(-6)=24>0，所以其破坏准则为：

13把σ1=42MPa，σ3=–6MPa，σt=8MPa（σt取绝对值）代入上式，

2（426）左边 426右边88左边=右边，刚好达到破坏。其破坏面与最大主应力之间的夹角

cos2为：

134260.6667， 2(13)2(426)24.09b. 由于σ1+3σ3=20+3×(-8)=-4<0，所以其准则为：σ3=-σt。σ3=-8=-σt，按格里

菲斯准则可判断其刚好破坏，其破坏方向为沿σ1的方向。

(5) 已知岩体中某点应力值为：σ1=，σ3=–，c=50MPa，φ=57º，σt=–，试用莫尔–库论判据和格里菲斯准则分别判断其是否破坏，并讨论其结果。

解：a、用莫尔–库论判据：

8

sin右边13132cctg61.2(19.1)0.7492

61.2(19.1)250ctg57左边sin570.8388等式不成立，所以岩体不破坏。 b、用格里菲斯准则：

13361.2319.13.90，

13213153.1MPa8t69.6MPa

所以岩体要发生破坏。

c、根据莫尔–库伦判据岩体不破坏，而根据格里菲斯准则岩体要发生破坏。即可认为该岩体不会发生剪切破坏，但由于岩体内部存在微裂纹和微孔洞，在外力作用下，即使作用的平均应力不大，在微裂纹和微孔洞的周围将出现应力集中，并可能产生很大的拉应力，这时就要用格里菲斯准则判断是否破坏，此题可认为岩体不产生剪切破坏，但会拉裂破坏，所以此岩体将破坏。

七、岩体结构面的力学性质

(2) 已知某岩石结构面壁抗压强度为70MPa，基本摩擦角35º，野外确定JRC为11，试按巴顿(Barton)公式绘出该结构面的σ-τ曲线，并试比较该曲线与库伦强度曲线的异同。

解：根据Barton公式tan(JRClgJCSb)，将JRC=11，b=35，70JCS=70MPa代入上式得：tan(11lg入计算得：

σ 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

τ(Barton)

35)，将σ=10,20,…,100MPa代

τ(Coulomb)

点绘出的曲线如下：

9

807060剪应力(MPa)50403020100020406080100120法向应力(MPa)BartonCoulomb

从上图可以看出：Bartong公式和Coulomb公式结果接近，在低正应力时（低于JCS），Barton公式计算的剪应力高于Coulomb公式，在高正应力时，Barton公式计算的剪应力低于Coulomb公式。

八、岩体的力学性质

(1) 如图a，在岩石试样中存在一结构面，

a. 试证明按莫尔–库伦强度准则导出的强度判据为：

1sin(2)sin2ccos3

sin(2)sinsin(2)sin式中C、φ为结构面参数。

b. 当单轴压缩时，β为多少值该岩石的强度最低提示：可按图b关系导出。 .

解：解：a. 由图b，在任意ΔABO’中，

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O'B132,O'AO'OOA132cctg,A,ABO'180(2)由正弦定理，sinsinABO'O'BO'Asinsin(180(2))1313cctg22sin(2)sin2ccos3 证毕。

sin(2)sinsin(2)sin

化简即可得：1b. 单轴时，上式为12ccos

sin(2)sin求σ1对β的最小值。

12ccoscos(2)20(sin(2)sin)22c0,cos0(90)，则只能cos(2)0,290,

452因此，当45时，岩石强度最低。

2(2) 地下岩体中有一结构面，其倾角为40º。当在地下200m深处开挖一洞室，如果利用上题的公式，仅考虑岩体自重应力，问该结构面在该洞室处会否滑动(已知γ=26kN/m3，μ=，结构面C=，φ=28º).

解：

1h26kN/m3200m5.2MPa

由上题公式：

1右边得：

sin(2)sin2ccos 3sin(2)sinsin(2)sinsin(24028)sin280.1720.4103cos28262004.743MPasin(24028)sin2810.17sin(24028)sin28

计算表明，满足破坏所需要的σ1仅为，而此处的实际应力已达，故会滑动。

此题有错误，

904050

十、地下洞室围岩稳定性分析

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三、 计算题

(1) 考虑地应力为静水压力状态，分别计算并绘出r＝0、1a、2a、3a、4a、5a、6a时的σr/σ0与σθ/σ0随r的变化，并讨论其与σ0的误差。

解：为静水压力状态即λ=1，洞室围岩中与洞轴垂直断面上任一点的应力由弹性理论的平面问题可得：

a2r012,ra2r012

r将r＝0、1a、2a、3a、4a、5a、6a代入得： r 1a 2a 3a 4a 5a 6a σr/σ0 0 3/4 8/9 15/1624/2535/36

（0%） （75%） （%） （94%） （96%） （97%）

σθ/σ0 2 5/410/917/1626/2537/36

（200%） （125%） （111%） （106%） （104%） （103%）

从上表可以看出：应力重分布与无关，而与测点径向距离有关，当洞径一定时，σθ随r增大而迅速减少，而σr随r增大而增大，并都趋近于天然应力值。当r=6a时，σθ、σr与σ0相差仅为1/36，小于%，因此一般可认为应力重分布的影响范围为r=6a。

(2) 一圆形洞室的直径为5m，洞中心埋深610m，岩层密度27kN/m3，泊松比，试求：a. 洞壁上各点的应力值并绘成曲线(θ = 0º、10º、20º、…、90º)；b. 当洞内有的压力时，计算洞壁和拱顶的围岩应力。 解：σv=γ h=610×27=，λ=μ/(1-μ)=1/3=σh/σv ，σh=σv/3

a、 洞壁上各点的应力r0，r0，h(12cos2)v(12cos2)。

16.47(12cos2)/316.47(12cos2)21.961cos2。

σθ

0 10 20 30 40 50 60 70 80

90 0

洞壁上各点的应力504540353025应力值（MPa)201510500102030405060708090100与水平线的夹角（度）

b、当洞内有压力P时，洞室周边围岩应力重分布公式为：

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rP，h(12cos2)v(12cos2)P，r0。将已知条件代入得：

r0.15MPa，21.961cos20.15，r0

洞壁：即拱顶：即

=0时，21.961cos00.1543.77MPa， =90时，21.961cos1800.150.15MPa。

(3) 试导出芬纳(Fenner)公式。.

塑性区弹性区 解：由上图可知，

在r=R处，既是弹性区又是塑性区，故：σe=σp=σ0

所以其既满足弹性圈内的重分布应力，又满足塑性区内重分布应力

RR1在弹性区: r0 R22rr22R01r22R R2r2当R=r时：

rR （1）

20Rr （2）

r2cctg又因为其满足M-C准则： 即：sin把①代入②式整理得：

R1sin0ccos

若松动圈已脱离原岩，则c=0,

R1sin0 （3）

在塑性区：

平衡方程成立，考虑静水压力状态，有

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drr0drr （4）

dr2r0drr由（2）变形整理

r2sin(rcctg) （5）

1sin（5）代入（4-1）整理并分离变量

dr2sindr rcctg1sinr两边积分后得

ln(rcctg)2sinlnrC （6）

1sin将边界条件rraa代入（6）

2sinlna （7）

1sin2sin1sinCln(acctg)（7）代入（6）取指数（去掉ln）

rcctg(acctg)整理后得塑性区应力

r(acctg)ra2sin1sinra

cctg （8）

又因为：当R=r时，Rr，即（8）=（3）

1sin0=(arcctg)a2sin1sincctg

2sin1sina化简即得芬纳公式：1sin0cctgRcctg

(4) 已知H = 100m，a = 3m，c = ，φ = 30º，γ= 27kN/m3，试求： a. 不出现塑性区时的围岩压力；

b. 允许塑性圈厚度为2m时的围岩压力； c. 允许充分变形时的塑性圈半径。 解：由题意得：0h2.7MPa

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a. 当不出现塑性区时，即R=a时：

1sin0cctgaR2sin1sincctg

2sin30a1sin30331sin3027000.310ctg300.310ctg30  a1350kPab. 当允许塑性圈厚度为2m时，即R235m时，

1sin3027000.3103ctg30153.45kPac. 当允许充分变形时，即当a0时：

a1sin1sin0cctgcctgRa0cctg1sin0cctgRcctga1sin1sin0cctgRacctgR1sincctg01sin2sin2sin2sin1sin2sin352sin301sin300.3103ctg30

1sin0cctgRacctg1sin2sin(1sin30)27000.310ctg30330.310ctg305.69m31sin302sin30(5) 已知H = 100m，a = 3m，c = ，φ = 30º，γ= 27kN/m3，同上，如果E = 1200MPa，μ= ，分别求洞周位移u = 1cm和u = 3cm时的围岩压力。

解：由公式：a0cctg1sin式中：Gm为塑性圈岩体的模量：Gm式：

当：u = 1cm时:

asin0cctg2Guma2sin1sincctg

E500106,把已知条件代入上2115

a2.71060.3106ctg301sin303sin302.7100.310ctg3025001060.010.26MPa66sin301sin300.3106ctg30

当：u = 3cm时：

a2.71060.3106ctg301sin303sin302.7100.310ctg3025001060.030.26MPa66sin301sin300.3106ctg30

（此值为负，即不可能产生3cm的位移）

十一、边坡岩体稳定性分析

1、 如图，导出边坡不失稳的最大坡高Hmax。 解：

βββ

解： 如上图所示：发仅考虑重力作用下的时，设滑动体的重力为G，则它对于滑动面的垂直分量为Gcosβ，平行分量为Gsinβ，因此，可得滑动面上的抗滑力Fs和滑动力Fr分别为：

F=G cosβ tanφ+cL T=G sinβ 则岩体边坡的稳定性系数为：

kFGcostancL TGsinαβ由上图几何关系可得：

H1gH2Hsin() h GghLsin() Lsin2sinsinsintg2csin将上式整理得：k tgghsinsin()令k=1即得滑动体极限高度Hmax:

Hmax2csincos

gsinsin()sin2、 导出楔形破坏的稳定性系数的计算式(不计凝聚力c)，给出式中各项参数如何取得的方法或公式。

解：如图所示：

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ββ面βθ1θ2面

如图（b）所示，可能滑动体的滑动力为Gsinβ，垂直交线的分量为

N=Gcosβ，如图（c）所示，将Gcosβ投影投影到△ABD和△BCD面的法线方向上，得作用二滑面上的法向力为：

N1N2Nsin2Gcossin2

sin(12)sin(12)Nsin1Gcossin1sin(12)sin(12)T=Gsinβ

设c1=c2=0及φ1，φ2分别为滑面ΔABD和ΔBCD的粘聚力和磨擦角，则二滑面的抗滑力为：

F=N1tanφ1+ N2tanφ2

则边坡的稳定性系数为：

Gcossin2Gcossin1tan1tan2sin(12)sin(12)FN1tan1N2tan2kTGsinGsin sin2tan1sin1tan2sin(12)tan

3、 已知边坡岩体γ=20kN/m3，φ=30º，c=，有一结构面倾角为40º，若设计一坡高H=14m的边坡，问设计坡角应为多少度(设安全系数取k=

F 1.3Ttan2csin即： K tanhsinsin()解： ∵ k= ∴ K解法1：

由上公式，解得

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Ktan2csintanhsinsin()Ktan2ctanhsinsincoscossinsincosctgsin2chsinKtantanctgctg2c

hsin2Ktantanctgctg2chsinKsincostanctgctg402172014sin401.3sin40cos40tan300.711554.5685

解法2：试算法

1.3tan3020.017103sintan402014sin40sin(40)

α 试算法解得：α=º

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4、 某陡坡顶发育一组垂直结构面，已知

γ=27kN/m3，E=8×104MPa，结构面间距为4m，求边坡 稳定的最大结构面深度。

解：因为是一组垂直结构面，只对岩体进行抗倾倒 及溃屈计算来确定最大结构面深度，

pEI 倾37.85q2

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p8EI溃3q由

q= γ=27kN/m3，E=8×104MPa，

Ibh312。 取b=1（单位宽度），h=4。经计算得：Ibh31214312163

pEI倾=37.85q=37.8581010163271034=

p82EI3828101016溃=3q=3271034=

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K

所以边坡稳定的最大结构面深度为。

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