南靖一中提前招生考试数学模拟试卷作答详解版

2011年福建省漳州市南靖一中提前招生考试数学模拟试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）

1．某人在平面镜里看到的时间是12：01，此时实际时间是（ ）

A．12：01 B．10：51 C．10：21 D．15：10

考点：镜面对称．

分析：根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称．

解答：解：从镜子中看到的是12：01，则真实时间应该是将此读数倒看：10：51．故选B．

点评：本题考查镜面反射的原理与性质；解决此类题应认真观察，注意技巧，掌握做题方法．

小技巧：做镜面对称最佳方法是将试卷反过来看背面透过来的图形就可以找出正确答案。或者画在一张较薄的演草纸上反过来看就可以了。刻章也是这个原理。

2．如图，直线AB，CD相交于O点，若∠1=30°，则∠2，∠3的度数分别为（ ）

A．120°，60° B．130°，50° C．140°，40° D．150°，30°

考点：对顶角、邻补角．

分析：首先判断所求角与∠1的关系，然后利用对顶角、邻补角的性质求解．

解答：解：∵∠1与∠3是对顶角， ∴∠3=∠1=30°，

∵∠1与∠2是邻补角，即∠1+∠2=180°， ∴∠2=180°-30°=150°．故选D． 点评：熟练掌握邻补角及对顶角的性质． 3．五边形的内角和为（ ）

A．360° B．540° C．720° D．900°

考点：多边形内角与外角．

分析：n边形的内角和是（n-2）180°（等差数列），由此即可求出答案．

解答：解：五边形的内角和是（5-2）×180°=540°．故选B． 方法二：我们知道三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形是一个四边形加上一个三角形的组合，所以是360+180=540.

点评：本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容． 4．已知，一次函数y=kx+b的图象如图，下列结论正确的是（ ） A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0

考点：一次函数图象与系数的关系．

分析：根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．

解答：解：如图所示，一次函数y=kx+b的图象，y随x的增大而增大，所以k＞0，

直线与y轴负半轴相交，所以b＜0． 故选B．

点评：本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．要理解记忆图像与函数关系，解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 5．如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那

么两个指针同时落在偶数上的概率是（ ） A．

1925

525 B．

1025 C．

625 D．

考点：列表法与树状图法．

分析：列举出所有情况，看两个指针同时落在偶数上的情况数占总情况数的多少即可． 解答：解：列表得：

（1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4）

（1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2）

∴一共有25种情况，两个指针同时落在偶数上的有6种情况， ∴两个指针同时落在偶数上的概率是C ． 方法二：

所有情况组合，5*5=25， 同时落在偶数上的组合，2*3=6

∴两个指针同时落在偶数上的概率是C ．

方法三：如果不会作，不知道怎么作，不要慌，根据考试错误答案迷惑性做题，B和D都是为了迷惑而故意设置的比值，排除掉。再看A和C，可能出现的组合有偶偶、奇奇，奇偶等情况，偶偶只是其中一小部分，直接选C。

点评：列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

6．如图点P为弦AB上一点，连接OP，过P作PC⊥OP，PC交⊙O

于点C，若AP=4，PB=2，则PC的长为（ ） A． 2 B．2 C．2

2

D．3

考点：垂径定理；勾股定理．

分析：首先延长CP交⊙O于点D，由PC⊥OP，根据垂径定理，即可

得PC=PD，又由相交弦定理，即可得PC•PD=PB•PA，继而求得PC的长．

解答：解：延长CP交⊙O于点D， ∵PC⊥OP， ∴PC=PD， ∵PC•PD=PB•PA， ∴PC2=PB•PA， ∵AP=4，PB=2， ∴PC2=8， ∴PC的长为：2故选C．

2

．

如果不知道相交弦定理，可以通过相似三角形来求解，对顶角，同弧角相等，所以三角形相似。

点评：此题考查了垂径定理与相交弦定理．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．

7．如图，在△ABC中，M为BC中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN于N，且AB=10，AC=16，则MN等于（ ）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5

考点：三角形中位线定理．

分析：延长线段BN，交AC于E，利用已知易证△ABN≌△AEN，所以BN=EN，从而证得MN是△BCE的中位线，所以求出EC，再运用

中位线定理求MN．

解答：解：延长线段BN，交AC于E．

∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90°． ∴△ABN≌△AEN． ∴AE=AB=10，BN=NE．

又∵M是△ABC的边BC的中点，

故MN= EC= （AC-AE）=（16-10）=3．故选C．

222111 点评：作出辅助线NE即可：

（1）构造出全等三角形（△ABN≌△AEN），从而求出CE的长； （2）证明MN是中位线，从而轻松解决问题．

（3）等腰三角形的顶角的角平分线就是高，且平分底边。推出AE=AB。

8．计算：(1-等于（ ） A．

10042007122

）（1-2）（1-31142

）（1-

152

）......（1-

120072

）

B．

10032007 C．

20082007 D．

20062007

考点：平方差公式。 专题：规律型．

分析：利用平方差公式将每一个括号部分因式分解，寻找约分规律．

解：原式=（1-1）（1+1 ）（1-1 ）（1+1 ）（1-1 ）（1+1 ）…（1-22334412007）

（1+

210041200732 ）

33442007200722007=1 × ×2 ×4 ×3 ×5×…×2006 ×2008=1×2008 =

2007．故选A．

点评：本题考查了平方差公式的运用，利用公式能简化运算． 方法二：找规律，先算前两位数，等于2，再算前三位数等于5，

38我们看答案，分母与原分母有关，=

852.54，再算前四位数等于，再

53算前五位数等于

3.56，发现得数规律都是分母等于分子乘2再减去1.

或者分子等于分母除2再加上0.5.所以选A。

方法三排除法：首先排除C、D，再通过计算前几个数排除B。 9．代数式

4x2

+ 9（12-x） 的最小值为（

2

）

A．12 B．13 C．14 D．11

考点：比较线段的长短；二次根式的性质与化简；函数的图象；线段的性质：两点之间线段最短．

分析：先将原式可化为 √(x-0)2+[0-(-2)]2+ √(x-12)2+(0-3)2 ，代数式的值即P（x，0）到A（0，-2）和B（12，3）的距离之和，显然当P为“x轴与线段AB交点”时，PA+PB=AB最短

．

解答：解：如图所示：原式可化为 √(x-0)2+[0-(-2)]2+

√(x-12)2+(0-3)2 ，AB= 122+52 =13． 代数式的最小值为13．故选B． 方法二:

4x2

可以转化为

x222这个是什么样的集合，在坐标系中表示什

么，表示一条直角边是x，另一条直角边是定值2的直角三角形的斜边的长，是一组斜边长的集合。图形是这样的：

9（12-x） 可以转化为32(12-x)22

这个是什么样的集合，在坐标系中表示什么，表示将原点右移到12，一条直角边是12-x，另一条直角边是定值3的直角三角形的斜边的长，是一组斜边长的集合。图形是这样的：

式子变成两个斜边长相加，问两个斜边长之和的最小值。 我们发现

4x2

式子函数在x＞0时，是个增函数，随着x增大而增

大，在x＜0时，是个减函数，随着x的负值绝对值增大而增大。是

一个对称图形。

3(12-x)22式子函数和上式子一样，只不过对称轴变为x=12。当x

大于12时，是增函数，当x小于12时，是减函数。 二者相加出现最小值，出现的区域在0-12之间。

将两坐标图形合并，然后，再将第一个图形向下拉2个单位，图形就变成两点A(0,-2)、B（12,3），在x轴有一点P，问什么情况AP+BP最小，

根据两点间直线距离最短，所以当AB为直线时，AP+BP最小。所以最小值为斜边长，两直角边为12和（3+2=5），为13.此时还可以求出出现最小情况的x值。根据相似三角形，两边之比是3:2，所以，(12-x):x=3:2,x=4.8.

10．下列说法中正确的个数有（ ）

①直径不是弦； ②三点确定一个圆；

③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴； ④相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

考点：圆周角定理；圆的认识；确定圆的条件；轴对称的性质． 分析：依据确定圆的条件、直径以及弦的定义、圆的对称性即可解答．注意：④要成立必须强调在同圆或等圆中．

解答：解：由圆中定义可知③正确，这是根据圆的轴对称的性质来判断的；

①错误，直径是过圆心的弦；

②错误，三点不一定能确定一个圆，如三点同线确定的是一条直线； ④错误，相等的圆心角所对的弧不一定相等，所对的弦也不一定相等，等弧是在同圆或者等圆中，能互相重合的两条弧； 故正确的只有③．故选A．

点评：理解与圆有关的概念，分清它们之间的区别与联系，是解决此类问题的关键．

二、填空题（每小题4分，共32分） 11．函数y=

x-1x-2的自变量的取值范围是x≥1且x≠2

考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件． 专题：计算题．

分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 解答：解：根据题意得：x-1≥0且x-2≠0， 解得：x≥1且x≠2． 故答案为x≥1且x≠2．

点评：本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12．设A（x1，y1），B（x2，y2）为函数y=

k-1x2 图象上的两点，且x1

＜0＜x2，y1＞y2，则实数k的取值范围是-1＜k＜1

考点：反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质． 分析：先判断出反比例函数图象所在的象限，再根据其增减性解答即可．

解答：解：∵k为常数，函数形式为反比例函数，x1＜0＜x2，y1＞y2，函数图象只能在二四象限．那么k2-1＜0，k2＜1， ∴-1＜k＜1． 故答案为-1＜k＜1．

点评：可根据所给条件判断反比例函数图象分支所在的象限，进而求解．

13．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是BC的延长线上一点，DF平分CE于G，则△CFG与△BFD的面积之比1：6

考点：三角形中位线定理． 专题：综合题．

分析：根据中位线定理和全等三角形的概念，计算出△CFG与△BFD的高和底边之比，进而计算出面积比．

解答：解：作EH⊥BF，GR⊥BF ∴GR∥EH ∵CG=GE

∴GR=1 HE，即GR HE =1设GR=h，HE=2h

22∵D、E分别是AB、AC的中点 ∴BC=2DE ∵DF平分CE于G ∴△DEG≌△FCG ∴CF=DE

设CF=DE=a，则BC=2a，BF=3a

∴S△CFG：S△BFD= ah： ×3a•2h=1：6．

2211故答案为1：6．点评：此题较难，涉及到全等、中位线、三角形面积的求法等众多知识，对同学们的要求较髙．

方法二：根据中位线情况，推知S△ADE：S梯形DECB=1:3 根据已知条件推知△DEG≌△FCG，推知S△BFD=S梯形DECB, △DEG与△ADE同高，底是1:2,所以面积是1:2， 所以S△CFG：S△BFD=1:6。

14．已知圆锥的母线长为30，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则该圆锥的底面半径为 10 。

考点：弧长的计算．分析：已知圆锥的母线长为30即展开所得扇形半径是30，弧长是120π•30/180 =20π。圆锥的底面周长等于侧

面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是20π，设圆锥的底面半径是r，列出方程求解即可．

解答：解：弧长=120π•30 /180 =20π， 根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长得 2πr=20π， 解得：r=10．

该圆锥的底面半径为10．

点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 15．如图，AB∥CD，AB：CD

=1 ：3，

△COD的周长为12cm，则△AOB的周长是 4 cm．

考点：相似三角形的判定与性质．

分析：因为周长的比等于相似比，所以根据AB：CD

=1 ：3 可得△COD的周长是△AOB的周长为1 ：3 ，所以周长为4 解答：解：∵AB∥CD， ∴△AOB∽△DOC， ∵AB CD =1 ：3 ，

∴△COD的周长：△AOB的周长=1：3， ∵△COD的周长为12cm， ∴△AOB的周长是4cm．

点评：此题主要考查学生对相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比的运用．

16．如图所示，在正方形ABCD中，AO⊥BD，OE，FG，HI都垂直于AD，EF，GH，IJ都垂直于AO，若已知S△AIJ=1，则正方形ABCD

的面积为 256 .

考点：正方形的性质；等腰直角三角形．分析：根据题意知：△AIJ，△IJH，△IHG，△GHF，△GFE，△EFO，△EOD为等腰直角三角形，根据△AIJ的面积，可将正方形ABCD的边长求出，进而可求出其面积．解答：解：在Rt△AIJ中， ∵S△AIJ=1 /2 （IJ）2=1 ∴IJ=

2在Rt△IJH中，IH=

222 IJ=2；

在Rt△IHG中，GH=在Rt△GHF中，GF= 在Rt△GFE中，EF=

IH=2

22 ；

GH=4； GF=4

22 ；

在Rt△EFO中，OE=ED= ∴AD=2ED=16

EF=8；

∴正方形ABCD的面积为：162=256

故答案为256．

从图中直接点查也可找出答案。1,2,4,8,16,32,,128,256. 点评：本题主要是应用等腰直角三角形的特殊性质．

17．若a、b满足a2+2a-1=0，b2+2b-1=0，那么代数式(1-1)(ab2-a2b)

ab的值是 0 或 8 ．

考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系首先得出a，b是方程x2+2x-1=0的两根，再根据根与系数的关系得出a+b=-2，ab=-1，利用分式混合运算法则将分式整理再分别代入求出即可．解答：解：∵a、b满足a2+2a-1=0，b2+2b-1=0， ∴a，b是方程x2+2x-1=0的两根， ∴a+b=-2，ab=-1， 当a≠b时， ∵(=

1ab-aab-1b)(ab2-a2b)

×ab（b-a）

=a2+b2-2ab =（a+b）2-4ab =（-2）2-4×（-1） =4+4 =8；

当a=b时，a-b=0， ∴(

1a-1b)(ab2-a2b)=

b-aab ×ab（b-a）

=0．

故答案为：0或8．

点评：此题主要考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解的应用，根据已知得出a，b是方程x2+2x-1=0的两根，从而利用根与系数的关系得出是解决问题的关键． 方法二：a、b满足a2+2a-1=0，b2+2b-1=0， ∴a的解是=-1+当a=b=-1+当a=-1+(

1a-1b2和-1-

2。b的解是-1+

22-1b和-1-

2.

2或都等于-1-2时，式子(

1a)(ab2-a2b)=0

2,b=-1-时，式子

2）-(-12)(-1-2)2)){（-1+2)(ab2-a2b)=(2（-1-(-1）(-1-

2)(-1-

2)-

（-1+）（-1+

22）(-1-22)}=2

2×2

2=8

)（-1+

2当a=-1-（-1+

2,b=-1+

2时，式子（2（-1（-12）{(-1-2）2）（-1-2）2）（--1-）

）-(-1-)(-1-)（-1+

2）}=-2

2×-2

2=8

18．如图，四边形ABCD是正方形，以BC边为直径在正方形内作半圆O，再过顶点A作半圆O的切线（切点为F）交CD边于E，则sin∠DAE=

53

考点：切线长定理；勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义．专

题：计算题．

分析：设正方形ABCD的边长为4a，EC=x，根据切线长定理得到AF=AB=4a，EC=EF=x，在Rt△ADE中利用勾股定理可得到x与a的关系，从而可用a表示AE、DE，然后在Rt△ADE中，利用正弦函数的定义求解即可．

解答：解：设正方形ABCD的边长为4a，EC=x， ∵AF为半圆O的切线， ∴AF=AB=4a，EC=EF=x，

在Rt△ADE中，DE=4a-x，AE=4a+x，

∴AE2=AD2+DE2，即（4a+x）2=（4a）2+（4a-x）2， 解得x=a， ∴AE=5a，DE=3a，

在Rt△ADE中，sin∠DAE=DE /AE =3a/ 5a =3/ 5 ． 故答案为3/ 5 ．

点评：本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．也考查了正方形的性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义． 方法二：

连接OF、OA，则△ABO、△AFO是两个全等的直角三角形，三边之比OF:AF:AO=1:2：

5,所以，sin∠OAF=

5/5，cos∠OAF=2

5/5，

根据公式sin2A=2sinA*cosA，所以，sin∠FAB=4/5，所以，cos∠FAB=3/5， ∠FAB+∠DAE=90°

所以，sin∠DAE=cos∠FAB=3/5。

方法三：连接OF、OA、OE，则△AOE是直角三角形，（在四边形AECB中，∠FAB+∠FEC=180°，AO、EO分别是∠FAB和∠FEC角平分线，所以△AOE是直角三角形）

OF是直角三角形AOE斜边的高，根据射影定理OF2=AF*FE

已知，OF=r,AF=2r 所以，EF=1r, 所以，AE=r

225所以cos∠DAE=AD/AE=4/5， 所以，sin∠DAE=3/5.

或者根据相似三角形，或直角三角形AO2+EO2=AE2都可求出答案。

三、解答题（第19-22题各10分，第23题14分，第24题16分） 19．计算：

13-1 +()-1-|1-tan60°|+(x2+1)0．

21考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；分母有理化．专题：探究型．

分析：先根据分母有理化、负整数指数幂、绝对值的性质、0指数幂及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 解答：解：原式= =

31231（31）（3-1） +2-|1-

3|+1

+2-

3 +1+1

=

92-32．

点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、分母有理化、绝对值及特殊角的三角函数值等考点的运算．

20．先化简，再求值：（x2+3x+1=0的根．

考点：一元二次方程的解；分式的化简求值．分析：利用方程解的定义找到相等关系a2+3a=-1，再把所求的代数式化简后整理成a2+3a的形式，整体代入a2+3a=-1，即可求解． 解答：解：原式=[=(

12a2a-2(a2)(a-2)(a-2)2a-4a-4a422-

12-a)÷

2a-2a2，其中a是方程

+

1a-2 ]×

a(a-2)2 （3分）

+

1a-2 )×

a(a-2)2（4分）

= (a2+3a)；（5分） ∵a是方程x2+3x+1=0的根， ∴a2+3a+1=0，（6分） ∴a2+3a=-1，（8分） ∴原式=-1/2 ．（9分）

点评：主要考查了方程解的定义和分式的运算．此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．

21．某中学团委会为研究该校学生的课余活动情况，采取抽样的方法，从阅读、运动、娱乐、其它等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制了如下的两幅不完整的统计图（如图1，图2），请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？ （2）“其它”在扇形图中所占的圆心角是多少度？ （3）补全频数分布折线图．

考点：频率分布直方图；频数（率）分布折线图；扇形统计图． 专题：阅读型．

分析：（1）由“运动”的人数和所占比例，求出全部调查人数；（2）根据扇形所对圆心角的度数与百分比的关系是：圆心角的度数=百分比*360度计算出“其它”在扇形图中所占的圆心角；（3）根据各项的比例，求出各项的人数，补全折线图．

解：（1）运动的人数为20人，占的比例为20%，则全部调查人数：20÷20%=100人；

（2）阅读的人数为30人，则阅读占的比例：30÷100=30%，其它占的

比例=1-20%-40%-30%=10%，则表示其它的扇形的圆心角：360°×10%=36°；

（3）其它的人数：100×10%=10人，娱乐人数=100×40%=40人，如

图．

点评：本题考查统计知识的应用，试题以图表为载体，要求学生能从中提取信息来解题，与实际生活息息相关，符合新课标的理念．

22．某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示．现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶．设生产A种饮料x瓶，解析下列问题：

原料名称 饮料名称 甲 乙 A 20克 40克 B 30克 20克

（1）有几种符合题意的生产方案写出解析过程；

（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80

元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？ 考点：不等式方程应用。

分析：生产A、B两种饮料100瓶，饮料原料甲乙各2800，A、B两种饮料甲乙配比不一样。利用不等式即可求解。

解答：设生产A饮料为x瓶，则生产B饮料为100-x瓶。 甲原料为2800克， 20x+30(100-x)≤2800 40x+20(100-x)≤2800 解得20≤x≤40,

因为是整数，所以x有21种选择方案。 （2）y=2.6x+2.8(100-x) Y=-0.2x+280

是一个减函数，所以当X=40，Y最小。

23．如图，已知⊙A半径为2，⊙B半径为1，AB=4，P为线段AB上的动点，且

PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点

D．

（1）已知PC2+PD2=4，求PB的长；

（2）在线段AB上存在点P，使PC⊥PD，垂足为P，此时有△APC∽△PBD．请问：除此外，在线段AB上是否存在另一点P，使得△APC

与△BPD相似？若存在，请问此时点P的位置在何处，同时判断此时直线PC与⊙B的位置关系并加以证明；若不存在，请说明理由． 考点：切线的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

专题：计算题．

分析：（1）设AP交⊙A与M，MP=x，则AP=2+x，PB=2-x，由勾股定理得：PC2=PA2-AC2，PD2=PB2-BD2，求出x即可；

（2）先假设存在，再根据已知条件△APC∽△PBD进行推理，计算结果成立，即存在；计算结果不成立，即不存在．

解答：解：（1）设AP交⊙A与M，MP=x，则AP=2+x，PB=2-x，PD、PC是切线，

由勾股定理得：PC2=PA2-AC2，PD2=PB2-BD2， 由题意得：（2+x）2-22+（2-x）2-12=4， 解得，x=±取x=

2222 ，

22 ，x=- （不合题意，舍去），

∴PB=2-

22 ．

（2）Rt△PAC和Rt△PBD中，由于AC=2BD， 当PC：PD=PA：PB=2：1成立时， △PCA∽△PDB，

求得PB=4/3 ，

即PB=1/3 AB=4/3 时，△PCA∽△PDB． 此时有∠BPD=∠APC，

延长CP到E，作BE⊥PE，垂足为E， ∵有∠BPD=∠APC=∠BPE，即PB平分∠DPE． 又∵BD⊥PD， ∴BE=BD=1．

∴PE也是⊙B的切线即直线PC与⊙B相切．

方法二：用倒推法。假定还有一点让两三角形相似，也就是让∠BPD=∠APC时，两三角形相似，PA：PB=PC：PD=2：1，P点在距A点2/3AB处。延长CP,过B点向CP延长线作垂线，垂足为E,则△PDB≌△PEB，所以与圆相切。

点评：本题考查了切线的判定和性质及存在性问题，熟圆与圆的位置关系及相似三角形的位置关系是解题的关键．

24．如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点

C．

（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；

（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；

（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）解：由抛物线的顶点是M（1，4），设解析式为y=a（x-1）2+4（a＜0） 又抛物线经过点N（2，3）， 所以3=a（2-1）2+4， 解得a=-1

所以所求抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3 令y=0，得-x2+2x+3=0， 解得：x1=-1，x2=3， 得A（-1，0）B（3，0）； 令x=0，得y=3， 所以C（0，3）．

（还可根据对称轴，可以求出C（0，3）．） （2）证明：直线y=kx+t经过C、M两点，

所以 t=3 k+t=4 即k=1，t=3，

直线解析式为y=x+3．（是一个与xy轴组成等腰直角三角形的直线可以直接求出D点坐标，求出CD的长） 令y=0，得x=-3，

故D（-3，0），即OD=3，又OC=3，

∴在直角三角形COD中，根据勾股定理得：CD= 连接AN，过N做x轴的垂线，垂足为F． 设过A、N两点的直线的解析式为y=mx+n， 则 -m+n=0 2m+n=3 ， 解得m=1，n=1

所以过A、N两点的直线的解析式为y=x+1 所以DC∥AN．在Rt△ANF中，AF=3，NF=3， 所以AN=3

2ODOC22 =3

2 ．

，

所以DC=AN．

因此四边形CDAN是平行四边形．

（方法二：求证一个四边形是平行四边形，如果能证明出一组对边平行且相等，该四边形就是平行四边形。

连接CN,CN平行于x轴，所以，CN∥DA,又CN=2（横坐标)， DA=2，所以CN=DA，

所以四边形CDAN是平行四边形。

（3）解：假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过

A、B两点，并且与直线CD相切， 设P（1，u）其中u＞0，

则PA是圆的半径且PA2=u2+22过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切．

由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，

由P（1，u）得PE=u，PM=|4-u|，PQ=PM / 由PQ2=PA2得方程：(4-u)2 /2 =u2+22， 解得u=-4±2

62 =|4-u| /

2

，舍去负值u=-4-2

6 ，符合题意的u=-4+2

66，

所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1，-4+2

此题还可以变形为求ABNC四点共圆的半径。

）．

ABNC四点是等腰梯形，所以圆心就在对称轴x=1上， 设P点坐标为（1，y） PA2=y2+22

PC2=12+(3-y)2

共圆，则二者相等。 y2+22=12+(3-y)2 6y=6 Y=1

其实，画图用几何法也可求证出。